Что циркуляция вектора напряженности электрического поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности

Поле Е обладает двумя чрезвычайно важными свойствами, знание которых помогло глубже проникнуть в суть самого понятия поля и сформировать его законы. Эти свойства - теорема Гаусса и теорема о циркуляции вектора Е - связаны с двумя важнейшими математическими характеристиками всех векторных полей: циркуляцией и потоком . Пользуясь только этими двумя понятиями можно описать все законы. Рассмотрим эти свойства.

Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а определяется только положением начальной и конечной точек перемещения. Именно таким свойством обладает электростатическое поле - поле, образованное системой неподвижных точечных зарядов.

1. Рассчитаем работу при перемещении точечного заряда в электростатическом поле.

Пусть электростатическое поле создано зарядом + Q. Будем перемещать другой точечный заряд q (q – пробный положительный точечный заряд) в электростатическом поле, созданном зарядом (+Q) из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории (смотри рис. 6.1.). Работу будет совершать сила F К – кулоновская сила, действующая на заряд q . Работа силыF К на элементарном перемещении dl равна:

Рис.6.1.Работа перемещения точечного заряда в электростатическом поле

Для нахождения работы перемещения заряда q из точки 1 в точку 2 проинтегрируем (6.2) по переменной r .

Работа перенесения заряда q из точки 1 в точку 2 не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек перемещения, следовательно , электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а кулоновские силы – консервативными.

(6.3 )

Покажем, что работа сил ЭС поля по любому замкнутому пути равна 0 .

Пусть перемещается положительный единичный заряд q из точки 1 в неё же по замкнутому пути - 1а2b1- замкнутый контур Г (рис.6.2) . Согласно соотношению (6.3) работа будет равна 0, т.к. r 1 = r 2 . Но, с другой стороны величину этой работы можем записать, используя связь между кулоновской силой и вектором напряженности электростатического поля (q ) в виде:

Но, модуль вектора напряженности точечного заряда равен kQ/r 2 =| |, следовательно элементарную работу сил электростатического поля можно представить в виде выражения:

Интеграл r dr = - называют циркуляцией вектора Е .

Теорема о циркуляции вектора Е: Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру тождественно равна нулю.

Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.

Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.

Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L2. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:

Работа этой силы на замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:

Это уравнение, упростив, запишем так:

Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение - элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):

здесь q = 1 - единичный заряд.

При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L :

Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости - это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.

Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:

Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю .

Работа перемещения заряда. На положительный точечный заряд q в электрическом поле с напряжённостью E действует сила
F = q E . При перемещении заряда на отрезке dl силами поля совершается работа

dA = F dl = q E dl cos (E , dl ) .

При перемещении заряда q силами электрического поля на произвольном конечном отрезке из точки 1 в точку 2 эта работа равна

Рассмотрим перемещение точечного заряда q в поле точечного заряда Q , напряженность поля которого

Проекция отрезка dl на направление вектора E (рис. 1.5) есть dr = dl cos (E , dl ).

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, определяется следующим образом:

Отсюда следует, что работа сил электрического поля не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положениями заряда q . Если оба заряда, q и Q , положительны, то работа сил поля положительна при удалении зарядов и отрицательна при их взаимном сближении.

Для электрического поля, созданного системой зарядов Q 1, Q 2,¼, Q n , работа перемещения заряда q равна алгебраической сумме работ составляющих сил:

Таким же образом, как и каждая из составляющих работ, суммарная работа зависит только от начального и конечного положений заряда q .

Циркуляция вектора напряженности электрического поля. Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру длиной l , определяется как циркуляция вектора напряженности электрического поля:

Так как для замкнутого пути положения начальной и конечной точек перемещения заряда совпадают, то работа сил электрического поля на замкнутом пути равна нулю, а значит, равна нулю и циркуляция вектора напряженности, т.е.

Равенство нулю означает, что силы электрического поля являются силамиконсервативными , а само поле - потенциальным .

В § 6 мы выяснили, что силы, действующие на заряд q в электростатическом поле, являются консервативными. Следовательно, работа этих сил на любом замкнутом пути Г равна нулю:

Сократив на q, получим соотношение

Интеграл, стоящий в левой части формулы (12.1), представляет собой циркуляцию вектора контуру Г (см. (11.16)). Таким образом, характерным для электростатического поля является то обстоятельство, что циркуляция вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Возьмем произвольную поверхность S, опирающуюся на контур Г, для которого вычисляется циркуляция (рис. 12.1). Согласно теореме Стокса (см. (11.42)) интеграл от ротора Е, взятый по этой поверхности, равен циркуляции вектора Е по контуру Г:

Поскольку циркуляция равна нулю, мы приходим к выводу, что

Полученное условие должно выполняться для любой поверхности S, опирающейся на произвольный контур Г. Это возможно лишь в том случае, если ротор вектора Е в каждой точке поля равен нулю:

По аналогии с крыльчаткой, изображенной на рис. 11.12, представим себе электрическую «крыльчатку» в виде легкой втулки со спицами, на концах которых помещаются одинаковые по величине положительные заряды q (рис. 12.2; все устройство должно быть малых размеров). В тех местах электрического поля, где ротор Е отличен от нуля, такая крыльчатка вращалась бы с тем большим ускорением, чем больше проекция ротора на ось крыльчатки.

В случае электростатического поля такое воображаемое устройство не пришло бы во вращение при любой ориентации его оси.

Итак, отличительной особенностью электростатического поля является то, что оно безвихревое. В предыдущем параграфе мы выяснили, что ротор градиента скалярной функции равен нулю (см. формулу (11.38)). Поэтому равенство нулю ротора Е в каждой точке поля делает возможным представление Е в виде градиента скалярной функции Из необходимости соблюдения условия (12.1) можно сразу заключить, что существование элекростатического поля вида, показанного на рис. 12.3, невозможно. Действительно, для такого поля циркуляция по контуру, изображенному пунктиром, была бы отлична от нуля, что противоречит условию (12.1). Точно так же невозможно, чтобы поле, отличное от нуля в ограниченном объеме, было во всем этом объеме однородным (рис. 12.4). В этом случае циркуляция по контуру, показанному пунктиром, была бы отлична от нуля.

Циркуляцией вектора напряженности называется работа, которую совершают электрические силы при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому пути L

Практическое значение

Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био - Савара - Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:

26. Диполь. Поле диполя.

Электрический дипольный момент - векторная физическая величина, характеризующая, наряду с суммарным зарядом (и реже используемыми высшими мультипольными моментами), электрические свойства системы заряженных частиц (распределения зарядов) в смысле создаваемого ею поля и действия на нее внешних полей. Главная после суммарного заряда и положения системы в целом (ее радиус-вектора) характеристика конфигурации зарядов системы при наблюдении ее издали.

Его поле. Для фиксированных угловых координат (то есть на луче, идущем из центра электрического диполя на бесконечность) напряжённость статического электрического поля диполя или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент, на больших расстояниях r асимптотически приближается к виду r−3, электрический потенциал - к r−2. Таким образом, статическое поле диполя убывает на больших расстояниях быстрее, чем поле простого заряда (но медленнее, чем поле любого более старшего мультиполя).

Напряжённость электрического поля и электрический потенциал неподвижного или медленно движущегося диполя (или в целом нейтральной системы зарядов, имеющей ненулевой дипольный момент) с электрическим дипольным моментом на больших расстояниях в главном приближении выражается как:

где - единичный вектор из центра диполя в направлении точки измерения, а точкой обозначено скалярное произведение.

Достаточно просты выражения (в том же приближении, тождественно совпадающие с формулами, приведенными выше) для продольной (вдоль радус-вектора, проведенного от диполя в данную точку) и поперечной компонент напряженности электрического поля:

где - угол между направлением вектора дипольного момента и радиус-вектором в точку Третья компонента напряженности электрического поля - ортогональная плоскости, в которой лежат вектор дипольного момента и радиус-вектор, - всегда равна нулю.

27. Строение диэлектрика. Диэлектрик во внешнем эл. поле. Механизмы поляризации диэлектриков

Строение диэлектрика.

Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле. Полное электрическое поле складывается в соответствии с принципом суперпозиции из внешнего поля и внутреннего поля создаваемого заряженными частицами вещества.

В отличие от проводников, в диэлектриках (изоляторах) нет свободных электрических зарядов. Они состоят из нейтральных атомов или молекул. Заряженные частицы в нейтральном атоме связаны друг с другом и не могут перемещаться под действием электрического поля по всему объему диэлектрика.

Диэлектрик во внешнем эл. поле.

При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в нем возникает некоторое перераспределение зарядов, входящих в состав атомов или молекул. В результате такого перераспределения на поверхности диэлектрического образца появляются избыточные нескомпенсированные связанные заряды. Все заряженные частицы, образующие макроскопические связанные заряды, по-прежнему входят в состав своих атомов.

Связанные заряды создают электрическое поле которое внутри диэлектрика направлено противоположно вектору напряженности внешнего поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика . В результате полное электрическое поле внутри диэлектрика оказывается по модулю меньше внешнего поля

Физическая величина, равная отношению модуля напряженности внешнего электрического поля в вакууме к модулю напряженностиполного поля в однородном диэлектрике, называется диэлектрической проницаемостью вещества .

Механизмы поляризации диэлектриков

Существует несколько механизмов поляризации диэлектриков. Основными из них являются ориентационная и электронная поляризации. Эти механизмы проявляются главным образом при поляризации газообразных и жидких диэлектриков.

Ориентационная или дипольная поляризация возникает в случае полярных диэлектриков , состоящих из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы представляют собой микроскопические электрические диполи – нейтральную совокупность двух зарядов, равных по модулю и противоположных по знаку, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Дипольным моментом обладает, например, молекула воды, а также молекулы ряда других диэлектриков (H 2 S, NO 2 и т. д.).

При отсутствии внешнего электрического поля оси молекулярных диполей из-за теплового движения ориентированы хаотично, так что на поверхности диэлектрика и в любом элементе объема электрический заряд в среднем равен нулю.

При внесении диэлектрика во внешнее поле возникает частичная ориентация молекулярных диполей. В результате на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные макроскопические связанные заряды, создающие поленаправленное навстречу внешнему полю(рис. 1.5.3).

Поляризация полярных диэлектриков сильно зависит от температуры, так как тепловое движение молекул играет роль дезориентирующего фактора.

Электронный или упругий механизм проявляется при поляризации неполярных диэлектриков, молекулы которых не обладают в отсутствие внешнего поля дипольным моментом. Под действием электрического поля молекулы неполярных диэлектриков деформируются – положительные заряды смещаются в направлении вектора а отрицательные – в противоположном направлении. В результате каждая молекула превращается в электрический диполь, ось которого направлена вдоль внешнего поля. На поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, создающие свое поленаправленное навстречу внешнему полюТак происходит поляризация неполярного диэлектрика (рис. 1.5.4).

Деформация неполярных молекул под действием внешнего электрического поля не зависит от их теплового движения, поэтому поляризация неполярного диэлектрика не зависит от температуры. Примером неполярной молекулы может служить молекула метана CH 4 . У этой молекулы четырехкратно ионизированный ион углерода C 4– располагается в центре правильной пирамиды, в вершинах которой находятся ионы водорода H + . При наложении внешнего электрического поля ион углерода смещается из центра пирамиды, и у молекулы возникает дипольный момент, пропорциональный внешнему полю.

Электрическое поле связанных зарядов, возникающее при поляризации полярных и неполярных диэлектриков, изменяется по модулю прямо пропорционально модулю внешнего поляВ очень сильных электрических полях эта закономерность может нарушаться, и тогда проявляются различныенелинейные эффекты . В случае полярных диэлектриков в сильных полях может наблюдаться эффект насыщения , когда все молекулярные диполи выстраиваются вдоль силовых линий. В случае неполярных диэлектриков сильное внешнее поле, сравнимое по модулю с внутриатомным полем, может существенно деформировать атомы или молекулы вещества и изменить их электрические свойства. Однако, эти явления практически никогда не наблюдаются, так как для этого нужны поля с напряженностью порядка 10 10 –10 12 В/м. Между тем, гораздо раньше наступает электрический пробой диэлектрика.

У многих неполярных молекул при поляризации деформируются электронные оболочки, поэтому этот механизм получил название электронной поляризации . Этот механизм является универсальным, поскольку деформация электронных оболочек под действием внешнего поля происходит в атомах, молекулах и ионах любого диэлектрика.

В случае твердых кристаллических диэлектриков наблюдается так называемая ионная поляризация , при которой ионы разных знаков, составляющие кристаллическую решетку, при наложении внешнего поля смещаются в противоположных направлениях, вследствие чего на гранях кристалла появляются связанные (нескомпенсированные) заряды. Примером такого механизма может служить поляризация кристалла NaCl, в котором ионы Na + и Cl – составляют две подрешетки, вложенные друг в друга. В отсутствие внешнего поля каждая элементарная ячейка кристалла NaCl (см. Часть I § 3.6) электронейтральна и не обладает дипольным моментом. Во внешнем электрическом поле обе подрешетки смещаются в противоположных направлениях, т. е. кристалл поляризуется.

При поляризации неоднородного диэлектрика связанные заряды могут возникать не только на поверхностях, но и в объеме диэлектрика. В этом случае электрическое поле связанных зарядов и полное полемогут иметь сложную структуру, зависящую от геометрии диэлектрика. Утверждение о том, что электрическое полев диэлектрике в ε раз меньше по модулю по сравнению с внешним полемстрого справедливо только в случаеоднородного диэлектрика , заполняющего все пространство, в котором создано внешнее поле. В частности:

Если в однородном диэлектрике с диэлектрической проницаемостью ε находится точечный заряд Q , то напряженность поля создаваемого этим зарядом в некоторой точке, и потенциал φ в ε раз меньше, чем в вакууме:

28 . Проводники. Эл. поле в проводниках. Электроемкость.

Конденсатор.

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 132) перемещается другой точечный заряд Q 0 , то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

Работа при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы - консервативными (см. §12).

Из формулы (83.1) следует, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути L, равна нулю, т. е.

Если в качестве заряда, переносимого в электростатическом поле, взять единичный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пути dl равна Е dl =E l dl, где E l =E cosa - проекция вектора Е на направление элементарного перемещения. Тогда формулу (83.2) можно записать в виде

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности. Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойством (83.3), называется потенциальным. Из обращения в нуль циркуляции вектора Е следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность.

Формула (83.3) справедлива только для электростатического поля. В дальнейшем будет показано, что для поля движущихся зарядов условие (83.3) не выполняется (для него циркуляция вектора напряженности отлична от нуля).