Геометрия круга. Геометрия круга Формула нахождения площади сегмента

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1 . а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье "Расчет арочной перемычки ", поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

tg(a /4) = 2Н/L (278.1.2)

а /4 = arctg(2H/L )

R = H /(1 - cos(a /2)) (278.1.3)

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад - для того, чтобы напомнить формулы - есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше - то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2 . Определение центра дуги методом последовательных приближений.

А на практике примерно так:

Фотография 463.1 . Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Тут только добавлю, что иногда приходится находить и чертить несколько радиусов, потому на фотографии так много всего и намешано.

Определение сегмента круга

Сегмент - это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.

Онлайн-калькулятор

Находится эта фигура между хордой и дугой круга.

Хорда

Это отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.

При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого - радиусы круга.

Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.

Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a S = 2 1 ​ ⋅ R ⋅ s − 2 1 ​ ⋅ h ⋅ a

R R R - радиус круга;
s s s - длина дуги;
h h h - высота равнобедренного треугольника;
a a a - длина основания этого треугольника.

Пример

Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.

Решение

R = 5 R=5 R = 5
h = 2 h=2 h = 2
s = 10 s=10 s = 1 0

Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt{h\cdot(2\cdot R-h)}=2\cdot\sqrt{2\cdot(2\cdot 5-2)}=8 a = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) ​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 8=17 S = 2 1 ​ ⋅ R ⋅ s − 2 1 ​ ⋅ h ⋅ a = 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (см. кв.)

Ответ: 17 см. кв.

Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha)) S = 2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α ) )

R R R - радиус круга;
α \alpha α - центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах .

Пример

Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.

Решение

R = 7 R=7 R = 7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ} α = 3 0 ∘

Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку π \pi π радиан равен 180 градусов, то:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^{\circ}=30^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{6} 3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ радиан. Тогда площадь сегмента:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha))=\frac{49}{2}\cdot\Big(\frac{\pi}{6}-\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\Big)\approx0.57 S = 2 R 2 ​ ⋅ (α − sin (α ) ) = 2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − sin ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (см. кв.)

Ответ: 0.57 см. кв.

Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами соответствующего сегменту сектора и хордой, ограничивающей сегмент.

Пример 1

Длина хорды, стягивающей окружность равна величине а. Градусная мера дуги, соответствующей хорде, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.

Решение

Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным, поэтому высота, проведенная из вершины центрального угла на сторону треугольника, образованную хордой, будет также являться биссектрисой центрального угла, поделив его пополам и медианой, поделив пополам хорду. Зная, что синус угла в равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можно вычислить величину радиуса:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Соответственно, S▲=√3/4*a².

Площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a²

Подставив числовое значение вместо величины a, можно с легкостью вычислить числовое значение площади сегмента.

Пример 2

Радиус окружности равен величине а. Градусная мера дуги, соответствующей сегменту, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.

Решение:

Площадь сектора, соответствующего заданному углу можно вычислить по следующей формуле:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Площадь соответствующего сектору треугольника вычисляется следующим образом:

S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Соответственно, S▲=√3/4*a².

И, наконец, площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:

Sсег = πa²/6 - √3/4*a².

Решения в обоих случаях практически идентичны. Таким образом можно сделать вывод, что для вычисления площади сегмента в простейшем случае достаточно знать величину угла, соответствующего дуге сегмента и один из двух параметров - либо радиус окружности, либо длину хорды, стягивающей дугу окружности, образующую сегмент.

• 01.10.2018

  На базе wi-fi модуля NodeMcu v3 с чипом ESP8266 (ESP-12e) можно сделать (для примера) термометр на цифровом датчике 18B20, информация об температуре при помощи GET запроса будет отправятся в базу данных MySQL. Следующий скетч позволяет отправлять GET запросы на указанную страницу, в моем случае это test.php. #include #include …

• 22.09.2014

  Автоматический стационарный светорегулятор, управляемый фоторезистором R7, предназначен для эксплуатации в жестких условиях холодного и умеренно холодного климата при температуре окружающей среды от -25 до +45 °С, относительной влажности воздуха до 85 % при температуре +20 °С и атмосферном давлении в пределах 200…900 мм рт.ст. Светорегулятор применяют для регулирования освещенности индивидуального …

• 25.09.2014

  Для избежания повреждения проводки во время ремонтных работ необходимо использовать прибор для обнаружения скрытой проводки. Прибор обнаруживает не только место скрытой проводки, но и место повреждения скрытой проводки. Прибор представляет собой усилитель звуковой частоты, в первом каскаде для повышения входного сопротивления используется полевой транзистор. Во втором каскаде ОУ. Датчик — …

• 03.10.2014

  Предлагаемое устройство стабилизирует напряжение до 24В и током до 2А с защитой от замыкания. В случае неустойчивого запуска стабилизатора следует применить синхронизацию от автономного генератора импульсов рис. 2 . Схема стабилизатора показана на рис.1. На VT1 VT2 собран триггер Шмитта, который управляет мощным регулирующим транзистором VT3. Детали: VT3 снабжен теплоотводом …