Последовательность фибоначчи и золотое сечение. Числа Фибоначчи: ищем секрет мироздания

Однако, это не все, что можно сделать с золотым сечением. Если единицу разделить на 0,618 то получается 1,618, если возведем в квадрат, то у нас получится 2,618, если возведем в куб, то получим число 4,236. Это коэффициенты расширения Фибоначчи. Тут не хватает только числа 3,236, которое было предложено Джоном Мёрфи.

Что думают о последовательности специалисты

Кто-то скажет, что эти числа уже знакомы, потому что они используются в программах технического анализа, для определения величины коррекции и расширения. Кроме того эти же ряды играют важную роль в волновой теории Элиота. Они являются его числовой основой.

Наш эксперт Николай Проверенный портфельный менеджер инвестиционной компании Восток.

• — Николай, как вы думаете, случайно ли появление чисел Фибоначчи и его производных на графиках различных инструментов? И можно ли сказать: «Ряд Фибоначчи практическое применение» имеет место?
• — К мистике отношусь плохо. А на графиках биржи тем более. У всего есть свои причины. в книге «Уровни Фибоначчи» красиво рассказывал, где появляется золотое сечение, что не стал удивляться тому, что оно появилось на графиках котировок биржи. А зря! Во многих примерах, которые он привел, часто появляется число Пи. Но его почему-то нет в ценовых соотношениях.
• — То есть вы не верите в действенность волнового принципа Элиота?
• — Да нет же, не в этом дело. Волновой принцип – это одно. Численное соотношение – это другое. А причины их появления на ценовых графиках – третье
• — Каковы на ваш взгляд причины появления золотого сечения на биржевых графиках?
• — Правильный ответ на этот вопрос может быть в силах заслужить Нобелевскую премию по экономике. Пока мы можем догадываться об истинных причинах. Они явно не в гармонии природы. Моделей биржевого ценообразования много. Они не объясняют обозначенный феномен. Но не понимание природы явления не должно отрицать явление как таковое.
• — А если когда – либо этот закон будет открыт, то сможет ли это разрушить биржевой процесс?
• — Как показывает та же теория волн закон изменения биржевых цен – это чистая психология. Мне кажется, знание данного закона ничего не изменит и не сможет разрушить биржу.

Материал предоставлен блогом веб-мастера Максима.

Совпадения основ принципов математики в самых разных теориях кажется невероятным. Может быть это фантастика или подгонка под конечный результат. Поживем — увидим. Многое из того, что раньше считалось необычным или было не возможно: освоение космоса, например, стало привычным и никого не удивляет. Также и волновая теория, может быть непонятная, со временем станет доступней и понятней. То, что раньше было не нужным, в руках аналитика с опытом станет мощным инструментом прогнозирования дальнейшего поведения .

Числа Фибоначчи в природе.

Смотреть

А теперь, давайте поговорим о том, как можно опровергнуть то, что цифровой ряд Фибоначчи причастен к каким-либо закономерностям в природе.

Возьмем любые другие два числа и выстроим последовательность с той же логикой, что и числа Фибоначчи. То есть, следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих. Для примера возьмем два числа: 6 и 51. Теперь выстроим последовательность, которую завершим двумя числами 1860 и 3009. Заметим, что при делении этих чисел, мы получаем число близкое золотому сечению.

При этом числа, которые получались при делении других пар уменьшались от первых к последним, что позволяет утверждать, что если этот ряд продолжать бесконечно, то мы получим число равное золотому сечению.

Таким образом, числа Фибоначчи ни чем сами по себе не выделяются. Существует другие последовательности чисел, которых бесконечное множество, что дают в результате тех же операций золотое число фи.

Фибоначчи не был эзотериком. Он не хотел вложить никой мистики в числа, он просто решал обыкновенную задачу о кроликах. И написал последовательность чисел, которые вытекали из его задачи, в первый, второй и другие месяца, сколько будет кроликов после размножения. В течение года он получил ту самую последовательность. И не делал отношений. Никакой золотой пропорции, Божественном отношении речи не шло. Все это было придумано после него в эпоху Возрождения.

Перед математикой достоинства Фибоначчи огромны. Он от арабов перенял систему чисел и доказал её справедливость. Была тяжелая и долгая борьба. От римской системы счисления: тяжелой и неудобной для счета. Она исчезла после французской революции. Никакого отношения именно к золотому сечению Фибоначчи не имеет.

Экология жизни. Познавательно: Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности...

Числа Фибоначчи - числовая последовательность, где каждый последующий член ряда равен сумме двух предыдущих, то есть: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368,.. 75025,.. 3478759200, 5628750625,.. 260993908980000,.. 422297015649625,.. 19581068021641812000,.. Изучением сложных и удивительных свойств чисел ряда Фибоначчи занимались самые различные профессиональные ученые и любители математики.

В 1997 году несколько странных особенностей ряда описал исследователь Владимир Михайлов, который был убежден, что Природа (в том числе и Человек) развивается по законам, которые заложены в этой числовой последовательности .

Замечательным свойством числового ряда Фибоначчи является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) - основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях.

Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью.

Числа Фибоначчи привлекли математиков своей особенностью возникать в самых неожиданных местах. Замечено, например, что отношения чисел Фибоначчи, взятых через одно, соответствуют углу между соседними листьями на стебле растений, точнее, они говорят, какую долю оборота составляет этот угол: 1/2 - для вяза и липы, 1/3 - для бука, 2/5 - для дуба и яблони, 3/8 - для тополя и розы, 5/13 - для ивы и миндаля и т. д. Эти же числа вы найдете при подсчете семян в спиралях подсолнуха, в количестве лучей, отражающихся от двух зеркал, в количестве вариантов маршрутов переползания пчелы от одной соты к другой, во многих математических играх и фокусах.

В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так, спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Число этих спиралей 8 и 13. В подсолнухах встречаются пары спиралей: 13 и 21, 21 и 34, 34 и 55, 55 и 89. И отклонений от этих пар не бывает!..

У Человека в наборе хромосом соматической клетки (их 23 пары) источником наследственных болезней являются 8, 13 и 21 пары хромосом...

Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд, а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц.

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию».

Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам - законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи.

Все это свидетельствует о том, что ряд чисел Фибоначчи представляет собой некий зашифрованный закон природы .

Цифровой код развития цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (например, 15 есть 1+5=6 и т.д.). Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, Михайлов получил следующий ряд этих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, затем все повторяется 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. и повторяется вновь и вновь... Этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, каждый бесконечно последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13-го и 14-го членов равна 15, т.е. 8 и 8=16, 16=1+6=7. Оказывается, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего, весь порядок цифр повторяется. Получив этот период, Михайлов выдвинул интересное предположение - не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? опубликовано

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ на НАШ youtube канал Эконет.ру, что позволяет смотреть онлайн, скачать с ютуб бесплатно видео об оздоровлении, омоложении человека. Любовь к окружающим и к себе, как чувство высоких вибраций - важный фактор оздоровления - сайт

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи «Мона Лиза», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?

Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным по именем Фибоначчи (род. ок. 1170 — умер после 1228) , итальянский математик . Путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики; способствовал передаче их на Запад.

После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Итак, числа, образующие последовательность:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность — последовательностью Фибоначчи .

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875… и через раз то пpевосходящая, то не достигающая его. (Прим. иррациональное число, т.е. число, десятичное представление которого бесконечно и не периодично)

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое сpеднее или золотая пропорция . В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

Итак, Золотая пропорция = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

* Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца);

* Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения;

* У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи:

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

* Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Строение золотого ортогонального четырехугольника и спирали

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

В геометрии прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.

Золотой прямоугольник также обладает многими удивительными свойствами. Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов (например, раковинах улиток).

Полюс спирали лежит на пересечении диагоналей начального прямоугольника и первого отрезаемого вертикального. Причем, диагонали всех последующих уменьшающихся золотых прямоугольников лежат на этих диагоналях. Разумеется, есть и золотой треугольник.

Английский дизайнер и эстетик Уильям Чарлтон констатировал, что люди считают спиралевидные формы приятными на вид и используют их вот уже тысячелетия, объяснив это так:

«Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать ее.»

В природе

* Лежащее в основе строения спирали правило золотого сечения встречается в природе очень часто в бесподобных по красоте творениях. Самые наглядные примеры — спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, и в шишках сосны, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и т.д.;

* Ботаники установили, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника или шишек сосны со всей очевидность проявляется ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляется закон золотого сечения;

Всевышний Господь каждому Своему творению установил особую меру и придал соразмерность, что подтверждается на примерах, встречающихся в природе. Можно привести великое множество примеров, когда процесс роста живых организмов происходит в строгом соответствии с формой логарифмической спирали.

Все пружинки в спирали имеют одинаковую форму. Математики установили, что даже при увеличении размеров пружинок форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

Строение морских раковин

Ученые, изучавшие внутреннее и внешнее строение раковин мягкотелых моллюсков, обитающих на дне морей, констатировали:

«Внутренняя поверхность раковин безупречно гладкая, а внешняя вся покрыта шероховатостями, неровностями. Моллюск был в раковине и для этого внутренняя поверхность раковины должна была быть безупречно гладкой. Внешние углы-изгибы раковины увеличивают ее крепость, твердость и таким образом повышают ее прочность. Совершенство и поразительная разумность строения ракушки (улитки) восхищает. Спиральная идея раковин является совершенной геометрической формой и удивительна по своей отточенной красоте.»

У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме логарифмической спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о логарифмической спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.

Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет логарифмическая форму ракушки?

Конечно же нет, потому что такой замысел невозможно осуществить без наличия разума и знаний. Но таковым разумом не обладают ни примитивные моллюски, ни бессознательная природа, которую, правда, некоторые ученые называют создательницей жизни на земле(?!)

Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.

Биолог Сэр Д`арки Томпсон этот вид роста морских раковин называет «форма роста гномов».

Сэр Томпсон делает такой комментарий:

«Нет более простой системы, чем рост морских ракушек, которые растут и расширяются соразмерно, сохраняя ту же форму. Раковина, что самое удивительное, растет, но никогда не меняет формы.»

Наутилус, размером в несколько сантиметров в диаметре, представляет собой самый выразительный пример гномового вида роста. С.Моррисон так описывает этот процесс роста наутилуса, спланировать который даже человеческим разумом представляется довольно сложным:

«Внутри раковины наутилуса есть множество отделов-комнат с перегородками из перламутра, причем сама раковина внутри представляет собой спираль, расширяющуюся от центра. По мере роста наутилуса в передней части ракушки нарастает еще одна комнатка, но уже больших размеров, чем предыдущая, а перегородки оставшейся позади комнатки покрываются слоем перламутра. Таким образом, спираль все время пропорционально расширяется.»

Приведем лишь некоторые типы спиралевидных раковин имеющих логарифмическую форму роста в соответствии с их научными названиями:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Все обнаруженные ископаемые останки раковин также имели развитую спиральную форму.

Однако логарифмическая форма роста встречается в животном мире не только у моллюсков. Рога антилоп, диких козлов, баранов и прочих подобных животных также развиваются в виде спирали по законам золотой пропорции.

Золотое сечение в ухе человека

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации . Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Рога и бивни животных, развивающиеся в форме спирали

Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль. Пауки всегда плетут свои паутины в виде логарифмической спирали. Строение таких микроорганизмов, как планктоны (виды globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae и trochida) также имеют форму спирали.

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры. Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни, и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно . К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов — вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

«Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу. 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц.»

Леонардо Фибоначчи — один из знаменитейших математиков Средневековья. Одно из важнейших его достижений — числовой ряд, который определяет золотое сечение и прослеживается во всей природе нашей планеты.

Удивительное свойство этих чисел, что сумма всех предыдущих чисел равна последующему числу (проверьте сами):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… — ряд Фибоначчи

Оказывается, эта последовательность имеет множество интересных с точки зрения математики свойств. Вот пример: вы можете разделить линию на две части. Отношение меньшей части линии к большей будет равно отношению большей части ко всей линии. Этот коэффицент пропорциональности, приблизительно равный 1,618, известен как золотое сечение.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого сечения находят эту последовательность во всем растительном и в животном мире. Вот несколько удивительных примеров:

Расположение листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя как золотое сечение. Если смотреть на листья такого растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции — длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

Ученый Цейзинг проделал колоссальную работу,чтобы обнаружить золотое сечение в теле человека. Он измерил около двух тысяч человеческих тел. Деление тела точкой пупа — важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела — длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

В эпоху Возрождения считалось, что именно эта пропорция из ряда Фибоначчи, соблюденная в архитектурных сооружениях и других видах искусства, больше всего радует глаз. Вот несколько примеров использования золотого сечения в искусстве:

Портрет Моны Лизы

Портрет Монны Лизы долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника, который строится на принципах золотого сечения.

Парферон

Золотые пропорции присутствуют в размерах фасада древнегреческого храма Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоническими пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию.

Рафаэль — «Избиение младенцев»

Картина строится на спирали, соблюдающей пропорции золотого сечения. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции»Избиение младенцев» или только»чувствовал» ее.

Наш мир чудесен и полон больших неожиданностей. Удивительная нить взаимосвязи соединяет множество обыденных для нас вещей. Золотое сечение легендарно тем, что оно объединило, казалось бы, две совершенно разные ветви познания — математику, царицу точности и порядка, и гуманитарную эстетику.

Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

В результате получается уравнение: х 2 - х - 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

• Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
• Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
• Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Спираль Архимеда и золотой прямоугольник

Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.

Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.

История применения золотых пропорций

Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.

В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».

Витрувианский человек Леонардо

Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.

Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.

С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.

Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.

Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

Число Фибоначчи и золотое сечение в природе

В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.

Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:

• расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
• семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
• соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
• форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
• соотношение размеров пальцев на руке человека.

И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.

Использование золотого сечения в искусстве

Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и

Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.

Золотое сечение в архитектуре

В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.

Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).

Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.

Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.

Применение пропорций в дизайне

В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.

При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.

Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.

Применение золотого сечения в кибернетике и технике

Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.

Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.

Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.

Современные исследования теории о золотой пропорции

Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.

В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.

Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.