Прямая на плоскости.
- Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0.
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b (k – угловой коэффициент).
- Острый угол между прямыми y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 определяется по формуле:
- k 1 =k 2 — условие параллельности прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2.
- Условие перпендикулярности этих же прямых:
- Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k, и проходящей
через точку М(х 1 ; у 1), имеет вид: у-у 1 =k (х-х 1).
- Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х 1; у 1) и (х 2 ; у 2) имеет вид:
- Длина отрезка М 1 М 2 с концами в точках М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):
- Координаты точки М(х о; у о) – середины отрезка М 1 М 2
- Координаты точки С(х; у), делящей в заданном отношении λ отрезок М 1 М 2 между точками М 1 (х 1; у 1) и М 2 (х 2 ; у 2):
- Расстояние от точки М(х о; у о) до прямой ax+by+c=0:
Уравнение окружности.
- Окружность с центром в начале координат: x 2 +y 2 =r 2 , r – радиус окружности.
- Окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .
Пределы.
Преобразование (конструирование) графиков функций.
- График функцииy
=-
f
(x
)
получается из графика функции y=f (x) зеркальным отражением от оси абсцисс.
- График функции y
=|
f
(x
)|
получается зеркальным отражением от оси абсцисс той части графика функции y=f (x), которая лежит ниже оси абсцисс.
- График функции y
=
f
(|
x
|)
получается из графика функции y=f (x) следующим образом: оставляют часть графика справа от оси ординат и отображают эту же часть симметрично ей самой относительно оси ординат.
- График функцииy
=
A
∙
f
(x
)
получается из графика функции y=f (x) растяжением в А раз вдоль оси ординат. (Ордината каждой точки графика функции y=f (x) умножается на число А).
- График функции y
=
f
(k
∙
x
)
получается из графика функции y=f (x) сжатием в k раз при k>1 или растяжением в k раз при 0
- График функции y
=
f
(x-
m
)
получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на m единичных отрезков вдоль оси абсцисс.
- График функции y
=
f
(x
)+
n
получается из графика функции y=f (x) параллельным переносом на n единичных отрезков вдоль оси ординат.
Периодическая функция.
- Функцию f
называют периодической функцией с периодом Т≠0,
если для любого х из области определения значения этой функции в точках x
,
T-
x
и
T
+
x
равны, т. е. выполняется равенство:
f
(x
)=
f
(T-
x
)=
f
(T
+
x
)
- Если функция f
периодическая и имеет период Т,
то функция y
=
A·
f
(k
∙
x
+
b
), гдеA
,
k
и b
постоянны, а k
≠0
, также периодична, причем, ее период равен T
/|
k
|.
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:
- Функцию вида y=a x
, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией
.
- Область определения
показательной функции: D (y)=R
- множество всех действительных чисел
.
- Область значений
показательной функции: E (y)=R +
-множество всех положительных чисел
.
- Показательная функция y=a x возрастает при a>1
.
- Показательная функция y=a x убывает при 0.
Справедливы все свойства степенной функции
:
- а 0 =1
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
- а 1 =а
Любое число в первой степени равно самому себе.
- a x
∙a
y
=a
x
+
y
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
- a x
:a
y
=a
x-
y
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
- (a
x
)
y
=a
xy
При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
- (a∙b)
x
=a
x
∙b
y
При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
- (a/b)
x
=a
x
/b
y
При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
- а -х =1/a
x
- (a/b)
-x
=(b/a)
x
.
Логарифмом числа b
по основанию а
(log a b
) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а
, чтобы получить число b
.
log a b
=
n
, если a n
=
b
. Примеры:
1) log 2 8=3
, т. к. 2 3 =8;
2) log 5 (1/25)=-2
, т. к. 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log 7 1=0
, т. к. 7 0 =1.
Под знаком логарифма
могут быть только положительные числа
, причем, основание логарифма — число а≠1
. Значением логарифма может быть любое число.
Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n
), то, возводя в эту степень число а
, получим число b
.
Логарифм по основанию 10
называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».
lg
7
=log 10 7,lg
7
– десятичный логарифм числа 7.
Логарифм по основанию е
(Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.
ln7
=log e 7, ln
7
– натуральный логарифм числа 7.
Свойства логарифмов
справедливы для логарифмов по любому основанию.
log a
1=0
Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1).
log a a
=1
Логарифм числа а
по основанию а
равен единице (a>0, a≠1).
log a (x∙y)=log a x+log a y
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
log a
(x
/
y
)=
log a x
—
log a y
Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.
log a b=log c b/log c a
Логарифм числа b
по основанию а
равен логарифму числа b
по новому основанию с
, деленному на логарифм старого основания а
по новому основанию с
.
log a b k
=
k
∙
log a b
Логарифм степени (b k
) равен произведению показателя степени (k
) на логарифм основания (b
) этой степени.
log a n b
=(1/
n
)∙
log a b
Логарифм числаb
по основанию a n
равен произведению дроби 1/
n
на логарифм числа b
по основанию a
.
log a n b k
=(k
/
n
)∙
log a b
Формула является комбинацией двух предыдущих формул.
log a r b r =log a b
или log a b
=
log a r b r
Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.
- Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F"(x)=f (x).
- Любая первообразная для функции f (x) на заданном промежутке может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)– одна из первообразных для функции f (x), а С – произвольная постоянная.
- Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f (x) dx, где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
1)
(∫f (x) dx)"=f (x); 2)
d∫f (x) dx=f (x) dx; 3)
∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;
4)
∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F"(x) dx=F (x)+C;
5)
∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;
6)
∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.
Таблица интегралов.
Объем тела вращения.
Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11
вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.
Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать - Успешной вам учебы, друзья!
Степень
Число
c
{\displaystyle c}
называется n
-й степенью числа
a
{\displaystyle a}
, если
c
=
a
⋅
a
⋅
.
.
.
⋅
a
⏟
n
{\displaystyle c=\underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}}
.
Свойства:
-
(a
b)
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle \left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}
-
(a
b)
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={{a^{n}} \over {b^{n}}}}
-
a
n
a
m
=
a
n
+
m
{\displaystyle a^{n}a^{m}=a^{n+m}}
-
a
n
a
m
=
a
n
−
m
{\displaystyle \left.{a^{n} \over {a^{m}}}\right.=a^{n-m}}
-
(a
n)
m
=
a
n
m
{\displaystyle \left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}}
- запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности
(a
n)
m
≠
a
(n
m)
{\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}}
, результат будет зависеть от последовательности действий, например,
(2
2)
3
=
4
3
=
64
{\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}
, а
2
(2
3)
=
2
8
=
256
{\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}
. Принято считать запись
a
n
m
{\displaystyle a^{n^{m}}}
равнозначной
a
(n
m)
{\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}
, а вместо
(a
n)
m
{\displaystyle (a^{n})^{m}}
можно писать просто
a
n
m
{\displaystyle a^{nm}}
, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. );
- возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности) : вообще говоря,
a
b
≠
b
a
{\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}
, например,
2
5
=
32
{\displaystyle 2^{5}=32}
, но
5
2
=
25
{\displaystyle 5^{2}=25}
.
Вещественная степень
Пусть
a
⩾
0
,
r
{\displaystyle a\geqslant 0,r}
- вещественные числа, причём
r
{\displaystyle r}
- иррациональное число . Определим значение следующим образом.
Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для
r
{\displaystyle r}
рациональный интервал
[
p
,
q
]
{\displaystyle }
с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов
[
a
p
,
a
q
]
{\displaystyle }
состоит из одной точки, которая и принимается за
a
r
{\displaystyle a^{r}}
.
Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. ).
Потенцирование
Комплексная степень
Сначала покажем, как вычисляется экспонента
e
z
{\displaystyle e^{z}}
, где e
- число Эйлера , z
- произвольное комплексное число ,
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
.
e
z
=
e
x
e
y
i
=
e
x
(cos
y
+
i
sin
y)
=
e
x
cos
y
+
i
e
x
sin
y
.
{\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.}
Теперь рассмотрим общий случай , где
a
,
b
{\displaystyle a,b}
оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив
a
{\displaystyle a}
в экспоненциальной форме и используя тождество
a
b
=
e
b
Ln
(a)
{\displaystyle a^{b}=e^{b\ \operatorname {Ln} (a)}}
, где
Ln
{\displaystyle \operatorname {Ln} }
- комплексный логарифм :
a
b
=
(r
e
θ
i)
b
=
(e
Ln
(r)
+
θ
i)
b
=
e
(Ln
(r)
+
θ
i)
b
.
{\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\operatorname {Ln} (r)+{\theta }i)b}.}
Следует иметь в виду, что комплексный логарифм - многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.
Степень как функция
Поскольку в выражении используются два символа (
x
{\displaystyle x}
и
y
{\displaystyle y}
), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:
Полезные формулы
X
y
=
a
y
log
a
x
{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}
x
y
=
e
y
ln
x
{\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}
x
y
=
10
y
lg
x
{\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции
x
y
{\displaystyle x^{y}}
.
Употребление в устной речи
Запись
a
n
{\displaystyle a^{n}}
обычно читается как «a
в
n
{\displaystyle n}
-ой степени» или «a
в степени n
». Например,
10
4
{\displaystyle 10^{4}}
читается как «десять в четвёртой степени»,
10
3
/
2
{\displaystyle 10^{3/2}}
читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например,
10
2
{\displaystyle 10^{2}}
читается как «десять в квадрате»,
10
3
{\displaystyle 10^{3}}
читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики . Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.)
русск.
. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади
a
3
{\displaystyle a^{3}}
- это «a
умноженное само на себя три
раза» , имея в виду, что берётся три множителя
a
{\displaystyle a}
. Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше:
a
3
=
a
⋅
a
⋅
a
{\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}
(три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, « изображалось как и
x
I
V
{\displaystyle x^{IV}}
соответственно . Начиная с Декарта , степень обозначали «двухэтажной» записью вида
a
b
{\displaystyle a^{b}}
.
С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки
.
Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах.
